Birkir þekkir vel til hjá Viking en ferill hans hófst hjá liðinu og hann spilaði með því til 2011. Hann lék 122 leiki fyrir Viking og skoraði nítján mörk.
Birkir lék síðast með Adana Demirspor í Tyrklandi en fékk fá tækifæri með liðinu í vetur. Hann lék með Adana Demirspor í tæp tvö tímabil, alls 45 leiki og skoraði sjö mörk.
Viking endaði í 11. sæti norsku úrvalsdeildarinnar á síðasta tímabili. Keppni tímabilið 2023 hefst annan í páskum.